Question

16．已知抛物线C：x²=2py的焦点与椭圆$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1的上焦点重合，点A是直线x-2y-8=0上任意一点，过A作抛物线C的两条切线，切点分别为M，N．
（I）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）证明直线MN过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

分析 （I）求得椭圆$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1的a，b，c，可得上焦点，即有p=2，进而得到抛物线的方程；
（Ⅱ）设A（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），求得函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程，再由A为AN，AM的交点，代入A的坐标，结合两点确定一条直线，可得MN的方程，再由A在定直线上，运用直线系方程的知识可得定点．

解答 解：（I）椭圆$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1的a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
可得椭圆的上焦点为（0，1），
即有$\frac{p}{2}$=1，解得p=2，
则抛物线的方程为x²=4y；
（Ⅱ）证明：设A（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由y=$\frac{1}{4}$x²，可得y′=$\frac{1}{2}$x，
即有直线AM：y-y₁=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁），
即为y-$\frac{1}{4}$x₁²=$\frac{1}{2}$x₁x-$\frac{1}{2}$x₁²，
可得y=$\frac{1}{2}$x₁x-y₁，
同理可得AN：y=$\frac{1}{2}$x₂x-y₂，
由AN，AM经过A，可得y₀=$\frac{1}{2}$x₁x₀-y₁，
y₀=$\frac{1}{2}$x₂x₀-y₂，
由两点确定一条直线，可得
MN：y₀=$\frac{1}{2}$xx₀-y，
又A是直线x-2y-8=0上的点，可得x₀-2y₀-8=0，
代入直线MN的方程，可得
x₀（x-1）-2（y-4）=0，
由x-1=0，y-4=0，可得x=1，y=4．
即直线MN恒过定点（1，4）．

点评 本题考查抛物线的方程的求法，注意运用椭圆的焦点坐标，考查直线恒过定点的解法，注意运用导数求得切线的斜率，由点斜式方程求得切线的方程，考查直线系方程的运用，以及运算能力，属于中档题．