Question

4．已知离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$的椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于A、B两点，|AB|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（1）求此椭圆的方程；
（2）已知直线y=kx+2与椭圆交于C、D两点，若以线段CD为直径的圆过点E（-1，0），求k的值．

Answer 1

分析 （1）设焦距为2c，结合e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，从而求椭圆的方程；
（2）联立方程化简可得（1+3k²）x²+12kx+9=0，再设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）；从而可得x₁+x₂=-$\frac{12k}{3{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{9}{3{k}^{2}+1}$；从而由平面向量化简可得（k²+1）$\frac{9}{3{k}^{2}+1}$-（2k+1）$\frac{12k}{3{k}^{2}+1}$+5=0，从而解得．

解答 解：（1）设焦距为2c，
∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，a²=b²+c²，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∵|AB|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴2$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
解得，b=1，a=$\sqrt{3}$；
故椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）将y=kx+2代入椭圆方程，
化简可得（1+3k²）x²+12kx+9=0，
由直线与椭圆有两个交点知，
△=（12k）²-36（1+3k²）＞0，
解得，k²＞1；
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）；
则x₁+x₂=-$\frac{12k}{3{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{9}{3{k}^{2}+1}$；
若以线段CD为直径的圆过点E（-1，0），
则$\overrightarrow{EC}$•$\overrightarrow{ED}$=0，
即（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，
而y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，
则（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂
=（k²+1）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5
=（k²+1）$\frac{9}{3{k}^{2}+1}$-（2k+1）$\frac{12k}{3{k}^{2}+1}$+5=0，
解得，k=$\frac{7}{6}$，满足k²＞1；
故k=$\frac{7}{6}$．

点评 本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及平面向量的应用，同时考查了学生的化简运算能力．