Question

11．已知函数f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$|cos（$\frac{π}{3}$-x）|．
（1）求其定义域和值域；
（2）判断其奇偶性；
（3）求其周期；
（4）写出单调区间．

Answer 1

分析 分别根据函数周期性，奇偶性，定义域和值域，单调性的性质分别进行判断即可．

解答 解：（1）要使函数有意义，则cos（$\frac{π}{3}$-x）=cos（x-$\frac{π}{3}$）≠0，
得x-$\frac{π}{3}$≠$\frac{π}{2}$+kπ，即x≠$\frac{5π}{6}$+kπ，即函数的定义域为{x|x≠$\frac{5π}{6}$+kπ，k∈Z}．
∵0＜|cos（$\frac{π}{3}$-x）|≤1．
∴f′（x）≥$lo{g}_{\frac{1}{2}}$1=0，
即函数的值域为[0，+∞）．
（2）∵函数的定义域为{x|x≠$\frac{5π}{6}$+kπ，k∈Z}．关于原点不对称，
∴函数f（x）为非奇非偶函数．
（3）∵y=|cos（$\frac{π}{3}$-x）|的周期T=π，
∴函数f（x）的周期是π．
（4）f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$|cos（$\frac{π}{3}$-x）|=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$|cos（x-$\frac{π}{3}$）|，
设t=|u|，u=cos（x-$\frac{π}{3}$），
当2kπ≤x-$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{2}$+2kπ，即当2kπ+$\frac{π}{3}$≤x＜$\frac{5π}{6}$+2kπ，时，u=cos（x-$\frac{π}{3}$），为减函数，t=|u|为增函数，而y=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$t为减函数，此时f（x）为增函数，
当$\frac{π}{2}$+2kπ＜x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，即2kπ+$\frac{5π}{6}$＜x≤2kπ+$\frac{4π}{3}$时，u=cos（x-$\frac{π}{3}$），为减函数，t=|u|为减函数，而y=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$t为减函数，此时f（x）为减函数，
当2kπ+π≤x-$\frac{π}{3}$＜$\frac{3π}{2}$+2kπ，即当2kπ+$\frac{4π}{3}$≤x＜$\frac{5π}{3}$+2kπ，时，u=cos（x-$\frac{π}{3}$），为增函数，t=|u|为减函数，而y=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$t为减函数，此时f（x）为增函数，
当$\frac{3π}{2}$+2kπ＜x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+2π，即2kπ+$\frac{5π}{3}$＜x≤2kπ+$\frac{7π}{3}$时，u=cos（x-$\frac{π}{3}$），为增函数，t=|u|为增函数，而y=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$t为减函数，此时f（x）为减函数．

点评 本题主要考查函数性质的综合考查，利用复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．综合性较强．