Question

11．设F₁、F₂分别是椭圆$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$的左、右焦点．若P是该椭圆上的一个动点，则$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的最大值为4．

Answer 1

分析 求得椭圆的a，b，c，可得两焦点的坐标，设出P（m，n），运用向量的数量积的坐标表示，结合几何意义，可得P为椭圆长轴的端点时，取得最大值．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$的a=$\sqrt{5}$，b=2，c=1，
可得F₁（-1，0），F₂（1，0），设P（m，n），
可得$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=（m+1，n）•（m-1，n）
=m²+n²-1，表示椭圆上的点与O的距离的平方减1，
由椭圆的性质可得，P为椭圆长轴的端点，即（±$\sqrt{5}$，0），
取得最大值，且为5-1=4．
故答案为：4．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查向量的数量积的坐标表示，运用椭圆的性质得到P为椭圆长轴的端点是解题的关键．