Question

3．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于$\frac{1}{2}$，它的一个短轴端点是（0，2$\sqrt{3}$）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）P（2，3）、Q（2，-3）是椭圆上两点，A、B是椭圆位于直线PQ两侧的两动点，
①若直线AB的斜率为$\frac{1}{2}$，求四边形APBQ面积的最大值；
②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设椭圆C方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由离心率等于$\frac{1}{2}$，它的一个短轴端点是（0，2$\sqrt{3}$），列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）①设直线AB的方程为y=$\frac{1}{2}x+t$，代入$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$，得：x²+tx+t²-12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，弦长公式，能求出四边形APBQ面积的最大值．
②当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，PA的直线方程为y-3=k（x-2），PB的直线方程为y-9=-k（x-2），由此利用韦达定理结合已知条件能求出AB的斜率为定值$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）∵椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，∴设椭圆C方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
∵离心率等于$\frac{1}{2}$，它的一个短轴端点是（0，2$\sqrt{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{b=2\sqrt{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=4，b=2$\sqrt{3}$，c=2，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
（2）①设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=$\frac{1}{2}x+t$，
代入$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$，得：x²+tx+t²-12=0，
由△＞0，解得-4＜t＜4．由韦达定理得x₁+x₂=-t，${x}_{1}{x}_{2}={t}^{2}-12$．
四边形APBQ的面积S=$\frac{1}{2}×6×|{x}_{1}-{x}_{2}|$=9$\sqrt{48-9{t}^{2}}$，
∴当t=0时，${S}_{max}=12\sqrt{3}$．
②当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，
PA的直线方程为y-3=k（x-2），
由$\left\{\begin{array}{l}{y-9=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，整理得：（9+4k²）x²+8（9-2k）kx+4（9-2k）²-48=0，
有${x}_{1}+2=\frac{8（2k-9）k}{9+4{k}^{2}}$．
同理PB的直线方程为y-9=-k（x-2），得${x}_{2}+2=\frac{-8k（-2k-9）}{9+4{k}^{2}}=\frac{8k（2k+9）}{9+4{k}^{2}}$，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{16{k}^{2}-12}{9+4{k}^{2}}$，${x}_{1}-{x}_{2}=-\frac{48k}{9+4{k}^{2}}$．
从而k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{k（{x}_{1}-2）+9+k（{x}_{2}-2）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{k（{x}_{1}+{x}_{2}）-4k}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴AB的斜率为定值$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查四边形面积最大值的求法，考查直线的斜率是否为定值的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理，弦长公式的合理运用．