Question

15．在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（-1，0）的距离与P到定直线x=-4的距离之比为$\frac{1}{2}$．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若轨迹C上的动点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值为1，求m的值．
（3）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A₁、B₁，且直线OA、OB的斜率之积等于$-\frac{3}{4}$，问四边形ABA₁B₁的面积S是否为定值？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y），由两点间距离公式和点到直线距离公式能求出动点P的轨迹C的方程．
（2）设N（x，y），利用两点间距离公式能求出m．
（3）法一：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由${k_{OA}}•{k_{OB}}=-\frac{3}{4}$，得$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-\frac{3}{4}$，由点A、B在椭圆C上，得$x_1^2+x_2^2=4$，由此利用点到直线的距离公式、椭圆的对称性，结合已知条件能求出四边形ABA₁B₁的面积为定值$4\sqrt{3}$．
法二：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A₁（-x₁，-y₁），B₁（-x₂，-y₂），由${k_{OA}}•{k_{OB}}=-\frac{3}{4}$，得$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-\frac{3}{4}$，点A、B在椭圆C上，得$x_1^2+x_2^2=4$．由此利用点到直线的距离公式、椭圆的对称性，结合已知条件能求出四边形ABA₁B₁的面积为定值$4\sqrt{3}$． 
法三：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A₁（-x₁，-y₁），B₁（-x₂，-y₂），由${k_{OA}}•{k_{OB}}=-\frac{3}{4}$，得$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-\frac{3}{4}$，点A、B在椭圆C上，得$x_1^2+x_2^2=4$．由此利用行列式性质及椭圆的对称性，能求出四边形ABA₁B₁的面积为定值$4\sqrt{3}$．

解答 解：（1）设P（x，y），
∵动点P到定点F（-1，0）的距离与P到定直线x=-4的距离之比为$\frac{1}{2}$，
∴由题意，$\frac{{\sqrt{{{（x+1）}^2}+{y^2}}}}{|x+4|}=\frac{1}{2}$，…（2分）
化简得3x²+4y²=12，…（3分）
∴动点P的轨迹C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．  …（4分）
（2）设N（x，y），
则$|MN{|^2}={（x-m）^2}+{y^2}={（x-m）^2}+3（{1-\frac{x^2}{4}}）=\frac{1}{4}{x^2}-2mx+{m^2}+3$=$\frac{1}{4}{（x-4m）^2}+3（1-{m^2}）$，-2≤x≤2．     …（2分）
①当0＜4m≤2，即$0＜m≤\frac{1}{2}$时，当x=4m时，|MN|²取最小值3（1-m²）=1，
解得${m^2}=\frac{2}{3}$，$m=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，此时$x=\frac{{4\sqrt{6}}}{3}＞2$，故舍去．   …（4分）
②当4m＞2，即$\frac{1}{2}＜m＜2$时，当x=2时，|MN|²取最小值m²-4m+4=1，
解得m=1，或m=3（舍）．  …（6分）
综上，m=1．
（3）解法一：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则由${k_{OA}}•{k_{OB}}=-\frac{3}{4}$，得$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-\frac{3}{4}$，（1分），$|AB|=\sqrt{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}+{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}$，
∵点A、B在椭圆C上，∴$y_1^2=3（{1-\frac{x_1^2}{4}}）$，$y_2^2=3（{1-\frac{x_2^2}{4}}）$，
∴$9x_1^2x_2^2=16y_1^2y_2^2$=$9（4-x_1^2）（4-x_2^2）$，化简得$x_1^2+x_2^2=4$．  …（2分）
①当x₁=x₂时，则四边形ABA₁B₁为矩形，y₂=-y₁，则$\frac{y_1^2}{x_1^2}=\frac{3}{4}$，
由$y_1^2=3（{1-\frac{x_1^2}{4}}）$，得$\frac{3}{4}x_1^2=3（{1-\frac{x_1^2}{4}}）$，解得$x_1^2=2$，$y_1^2=\frac{3}{2}$，
S=|AB|•|A₁B|=4|x₁||y₁|=$4\sqrt{3}$．     …（3分）
②当x₁≠x₂时，直线AB的方向向量为$\vec d=（{x_2}-{x_1}\;，\;{y_2}-{y_1}）$，
直线AB的方程为（y₂-y₁）x-（x₂-x₁）y+x₂y₁-x₁y₂=0，
原点O到直线AB的距离为$d=\frac{{|{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}|}}{{\sqrt{{{（{x_2}-{x_1}）}^2}+{{（{y_2}-{y_1}）}^2}}}}$
∴△AOB的面积${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}•|AB|•d=\frac{1}{2}|{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}|$，
根据椭圆的对称性，四边形ABA₁B₁的面积S=4S_△AOB=2|x₁y₂-x₂y₁|，…（4分）
∴${S^2}=4{（{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}）^2}=4（x_1^2y_2^2-2{x_1}{x_2}{y_1}{y_2}+x_2^2y_1^2）$
=$4[{3x_1^2（{1-\frac{x_2^2}{4}}）+\frac{3}{2}x_1^2x_2^2+3x_2^2（{1-\frac{x_1^2}{4}}）}]=12（x_1^2+x_2^2）=48$，∴$S=4\sqrt{3}$．
∴四边形ABA₁B₁的面积为定值$4\sqrt{3}$．    …（6分）
解法二：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A₁（-x₁，-y₁），B₁（-x₂，-y₂），
由${k_{OA}}•{k_{OB}}=-\frac{3}{4}$，得$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-\frac{3}{4}$，…（1分）
∵点A、B在椭圆C上，所以$y_1^2=3（{1-\frac{x_1^2}{4}}）$，$y_2^2=3（{1-\frac{x_2^2}{4}}）$，
∴$9x_1^2x_2^2=16y_1^2y_2^2$=$9（4-x_1^2）（4-x_2^2）$，化简得$x_1^2+x_2^2=4$．  …（2分）
直线OA的方程为y₁x-x₁y=0，点B到直线OA的距离$d=\frac{{|{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}|}}{{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}}$，
△ABA₁的面积${S_{△AB{A_1}}}=\frac{1}{2}•|A{A_1}|•d=|{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}|$，…（3分）
根据椭圆的对称性，四边形ABA₁B₁的面积$S=2{S_{△AB{A_1}}}$=2|x₁y₂-x₂y₁|，…（4分）
∴${S^2}=4{（{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}）^2}=4（x_1^2y_2^2-2{x_1}{x_2}{y_1}{y_2}+x_2^2y_1^2）$
=$4[{3x_1^2（{1-\frac{x_2^2}{4}}）+\frac{3}{2}x_1^2x_2^2+3x_2^2（{1-\frac{x_1^2}{4}}）}]=12（x_1^2+x_2^2）=48$，∴$S=4\sqrt{3}$．
∴四边形ABA₁B₁的面积为定值$4\sqrt{3}$．       …（6分）
解法三：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A₁（-x₁，-y₁），B₁（-x₂，-y₂）
由${k_{OA}}•{k_{OB}}=-\frac{3}{4}$，得$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-\frac{3}{4}$，…（1分）
∵点A、B在椭圆C上，所以$y_1^2=3（{1-\frac{x_1^2}{4}}）$，$y_2^2=3（{1-\frac{x_2^2}{4}}）$，
∴$9x_1^2x_2^2=16y_1^2y_2^2$=$9（4-x_1^2）（4-x_2^2）$，化简得$x_1^2+x_2^2=4$．  …（2分）
△ABA₁的面积${S_{△AB{A_1}}}=\frac{1}{2}|{|{\begin{array}{l}{x_1}&{y_1}&1\\{{x_2}}&{y_2}&1\\{-{x_1}}&{-{y_1}}&1\end{array}}|}|$=|x₁y₂-x₂y₁|，…（3分）
根据椭圆的对称性，四边形ABA₁B₁的面积$S=2{S_{△AB{A_1}}}$=2|x₁y₂-x₂y₁|，…（4分）
∴${S^2}=4{（{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}）^2}=4（x_1^2y_2^2-2{x_1}{x_2}{y_1}{y_2}+x_2^2y_1^2）$
=$4[{3x_1^2（{1-\frac{x_2^2}{4}}）+\frac{3}{2}x_1^2x_2^2+3x_2^2（{1-\frac{x_1^2}{4}}）}]=12（x_1^2+x_2^2）=48$，∴$S=4\sqrt{3}$．
∴四边形ABA₁B₁的面积为定值$4\sqrt{3}$．  …（6分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，考查四边形面积是否为定值的求法与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式、椭圆的对称性的合理运用．