Question

10．已知中心在原点，焦点在x轴的椭圆过点$E（1，-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$，且焦距为2，过点P（1，1）分别作斜率为k₁，k₂的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当k₁+k₂=1，直线MN是否恒过定点？如果是，求出定点坐标．如果不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意知c=1设右焦点F′（1，0）．可得2a=|EF|+|EF′|=2$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{3}$，b²=a²-c²=2．即可得出．（2）由题意k₁≠k₂，设M（x_M，y_M），直线AB：y-1=k₁（x-1），即y=k₁x+k₂ 代入椭圆方程并化简可得：M，N的坐标．当k₁k₂≠0时，直线MN的斜率k=$\frac{{y}_{M}-{y}_{N}}{{x}_{M}-{x}_{N}}$与直线MN的方程，又k₁+k₂=1 化简得y=$\frac{10-6{k}_{1}{k}_{2}}{-9{k}_{1}{k}_{2}}$x-$\frac{2}{3}$，此时直线过定点即可得出．

解答 解：（1）由题意知c=1设右焦点F′（1，0）．
∴2a=|EF|+|EF′|=$\sqrt{（1+1）^{2}+（\frac{2\sqrt{3}}{3}-0）^{2}}$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=2$\sqrt{3}$，…（2分）
∴a=$\sqrt{3}$，b²=a²-c²=2．
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．…（4分）
（2）由题意k₁≠k₂，设M（x_M，y_M），
直线AB：y-1=k₁（x-1），即y=k₁x+k₂ 代入椭圆方程并化简得$（2+3{k}_{1}^{2}）{x}^{2}$+6k₁k₂x+$3{k}_{2}^{2}-6$=0，…（5分）
∴x_M=$\frac{-3{k}_{1}{k}_{2}}{2+3{k}_{1}^{2}}$，y_M=$\frac{2{k}_{2}}{2+3{k}_{1}^{2}}$．…（7分）
同理x_N=$\frac{-3{k}_{1}{k}_{2}}{2+3{k}_{2}^{2}}$，y_N=$\frac{2{k}_{1}}{2+3{k}_{2}^{2}}$．…（8分）
当k₁k₂≠0时，直线MN的斜率k=$\frac{{y}_{M}-{y}_{N}}{{x}_{M}-{x}_{N}}$=$\frac{10-6{k}_{1}{k}_{2}}{-9{k}_{1}{k}_{2}}$，…（9分）
直线MN的方程为y-$\frac{2{k}_{2}}{2+3{k}_{1}^{2}}$=$\frac{10-6{k}_{1}{k}_{2}}{-9{k}_{1}{k}_{2}}$（x-$\frac{-3{k}_{1}{k}_{2}}{2+3{k}_{1}^{2}}$） …（10分）
 又k₁+k₂=1 化简得y=$\frac{10-6{k}_{1}{k}_{2}}{-9{k}_{1}{k}_{2}}$x-$\frac{2}{3}$，此时直线过定点（0，$-\frac{2}{3}$）
当k₁k₂=0时，直线MN即为y轴，也过点（0，$-\frac{2}{3}$）…（12分）
综上，直线过定点（0，$-\frac{2}{3}$）．

点评 本题考查了椭圆与圆的定义标准方程及其性质、斜率计算公式、直线经过定点，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．