Question

19．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且C₁的右焦点与抛物线C₂：y²=4$\sqrt{3}$x的焦点相同．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）求经过点P（-2，0）分别作斜率为k₁、k₂（k₁≠k₂）的两条直线，两直线分别与椭圆C₁交于M、N两点，当直线MN与y轴垂直时，求k₁•k₂的值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率和且C₁的右焦点与抛物线C₂：y²=4$\sqrt{3}$x的焦点相同，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C₁的方程．
（2）设直线PM：y=k₁（x+2），与椭圆联立，求出M，同理求出N，由直线MN与y轴垂直，得${k}_{1}+4{k}_{1}{{k}_{2}}^{2}={k}_{2}+4{k}_{2}{{k}_{1}}^{2}$，由此能求出k₁k₂的值．

解答 解：（1）∵椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
且C₁的右焦点与抛物线C₂：y²=4$\sqrt{3}$x的焦点相同，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得a=2，c=$\sqrt{3}$，
b²=4-3=1，
∴椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）由题意，当k₁=0时，M点的纵坐标为0，直线MN与y轴垂直，则点N的纵坐标也为0，
∴k₁=k₂=0，与k₁≠k₂矛盾，∴k₁≠0，
设直线PM：y=k₁（x+2），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y={k}_{1}（x+2）}\end{array}\right.$，得$（\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}+4）{y}^{2}-\frac{4y}{{k}_{1}}=0$，
解得$y=\frac{4{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$或y=0（舍），
∴M（$\frac{2-8{{k}_{1}}^{2}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$，$\frac{4{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$），同理N（$\frac{2-8{{k}_{2}}^{2}}{1+4{{k}_{2}}^{2}}$，$\frac{4{k}_{2}}{1+4{{k}_{2}}^{2}}$），
∵直线MN与y轴垂直，∴$\frac{4{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$=$\frac{4{k}_{2}}{1+4{{k}_{2}}^{2}}$，
化简，得${k}_{1}+4{k}_{1}{{k}_{2}}^{2}={k}_{2}+4{k}_{2}{{k}_{1}}^{2}$，
∴（k₂-k₁）（4k₁k₂-1）=0，
又由k₁≠k₂，得4k₁k₂-1=0，
∴k₁k₂=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率之积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、直线方程的性质的合理运用．