Question

1．已知{a_n}是等差数列，首项a₁＞0，a₁₉+a₂₀＞0，a₁₉a₂₀＜0，则使a_n＞-a₁成立的最大自然数n是（　　）

• A． 20
• B． 37
• C． 38
• D． 40

Answer 1

分析 由已知得-18.5d＜a₁＜-19d，由a_n＞-a₁，得-$\frac{n-1}{2}d$≤-18.5d，由此能求出满足a_n＞-a₁成立的最大自然数n．

解答 解：∵{a_n}是等差数列，首项a₁＞0，a₁₉+a₂₀＞0，a₁₉a₂₀＜0，
若公差d＞0，则数列各项均为正，与a₁₉a₂₀＜0不符，
∴公差d＜0，a₁₉＞0，a₂₀＜0，
∵a₁₉+a₂₀＞0，∴2a₁+37d＞0，∴a₁＞-18.5d，
∵a₁₉＞0，a₂₀＜0，∴a₁₉=a₁+18d＞0，解得a₁＞-18d，
a₂₀=a₁+19d＜0，∴a₁＜-19d，
∵a_n＞-a₁，∴a₁+（n-1）d＞-a₁，
∴-$\frac{n-1}{2}d$≤-18.5d，两边同时乘以-$\frac{2}{d}$，得n-1≤37，∴n≤38，
∴n的最大值为38，即满足a_n＞-a₁成立的最大自然数n是38．
故选：C．

点评 本题考查满足条件的最大自然数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．