Question

16．已知数列{C_n}，其中C_n=2ⁿ+3ⁿ．
（1）数列{C_n}是否为等比数列？证明你的结论；
（2）若{C_n+1-pC_n}为等比数列，求实数p．

Answer 1

分析 （1）数列{C_n}不为等比数列．利用等比数列的定义直接证明即可．
（2）由{C_n+1-pC_n}为等比数列，得[2ⁿ⁺²+3ⁿ⁺²-p×2ⁿ⁺¹-p×3ⁿ⁺¹]÷[2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹-p×2ⁿ-p×3ⁿ]=k，由此能求出常数p的值．

解答 解：（1）数列{C_n}不为等比数列．
证明如下：
∵数列{C_n}，其中C_n=2ⁿ+3ⁿ，
∴$\frac{{C}_{n+1}}{{C}_{n}}$=$\frac{{2}^{n+1}+{3}^{n+1}}{{2}^{n}+{3}^{n}}$=$\frac{2•{2}^{n}+3•{3}^{n}}{{2}^{n}+{3}^{n}}$，不是常数，
∴数列{C_n}不为等比数列．
（2）∵{C_n+1-pC_n}为等比数列，
∴$\frac{{C}_{n+2}-p{C}_{n+1}}{{C}_{n+1}-P{C}_{n}}$=$\frac{{2}^{n+2}+{3}^{n+2}-P•（{2}^{n+1}+{3}^{n+1}）}{{2}^{n+1}+{3}^{n+1}-P（{2}^{n}+{3}^{n}）}$=k k为实数，且k≠0，
∴[2ⁿ⁺²+3ⁿ⁺²-p×2ⁿ⁺¹-p×3ⁿ⁺¹]÷[2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹-p×2ⁿ-p×3ⁿ]=k，
整理，得 4×2ⁿ+9×3ⁿ-2p×2ⁿ-3p×3ⁿ=2k×2ⁿ+3k×3ⁿ-kp×2ⁿ-kp×3ⁿ （4-2p-2k+kp）×2ⁿ+（9-3p-3k+kp）×3ⁿ=0 随n变化，
2ⁿ、3ⁿ均为变量，要等式成立，只有系数为0，
∴4-2p-2k+kp=0，且9-3p-3k+kp=0，
解得p=2，k=3或p=3 k=2．
∴常数p为2或3．

点评 本题考查等比数列的判断与证明，考查满足等比数列的常数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．