Question

13．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|=2，|AD|=1，|CD|=2x，其中x∈（0，1），以A、B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e₁，以C、D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e₂，若对任意x∈（0，1），不等式t＜e₁+e₂恒成立，则t的最大值为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 作图辅助，根据题意及圆锥曲线的定义可求得e₁=$\frac{2}{\sqrt{1+4x}-1}$，e₂=$\frac{2x}{\sqrt{1+4x}+1}$，从而可得e₁+e₂=$\frac{2}{\sqrt{1+4x}-1}$+$\frac{2x}{\sqrt{1+4x}+1}$，利用换元法令$\sqrt{1+4x}$=t，（1＜t＜$\sqrt{5}$），从而化简出e₁+e₂=$\frac{2}{t-1}$+$\frac{t-1}{2}$，从而利用函数的单调性求值域，从而化恒成立问题为最值问题．

解答 解：对于双曲线，|AB|=2=2c，
|DE|=$\sqrt{1-（1-x）^{2}}$，
|BD|=$\sqrt{|DE{|}^{2}+（1+x）^{2}}$=$\sqrt{1+4x}$，
故2a=$\sqrt{1+4x}$-1，
故e₁=$\frac{2}{\sqrt{1+4x}-1}$，
对于椭圆，|CD|=2x=2c，
|AC|=|BD|=$\sqrt{|DE{|}^{2}+（1+x）^{2}}$=$\sqrt{1+4x}$，
2a=$\sqrt{1+4x}$+1，
故e₂=$\frac{2x}{\sqrt{1+4x}+1}$，
故e₁+e₂=$\frac{2}{\sqrt{1+4x}-1}$+$\frac{2x}{\sqrt{1+4x}+1}$，
令$\sqrt{1+4x}$=t，（1＜t＜$\sqrt{5}$），
故2x=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
e₁+e₂=$\frac{2}{t-1}+\frac{\frac{{t}^{2}-1}{2}}{t+1}$=$\frac{2}{t-1}$+$\frac{t-1}{2}$，
由对勾函数的单调性及复合函数的单调性知，
y=$\frac{2}{t-1}$+$\frac{t-1}{2}$在（1，$\sqrt{5}$）上是减函数，
故y＞$\frac{2}{\sqrt{5}-1}$+$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$=$\sqrt{5}$，
故若对对任意x∈（0，1），不等式t＜e₁+e₂恒成立，
则t≤$\sqrt{5}$，
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了数形结合的思想及函数的思想的应用，同时考查了圆锥曲线的定义的应用及学生的化简运算能力．