Question

1．已知椭圆C的左，右焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，若P为椭圆C上的任意一点，过点P垂直于y轴的直线交y轴于点Q，M为线段QP的中点．
（1）求椭圆C短轴长；
（2）求点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）设椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由椭圆的焦点坐标和离心率列出方程组，由此能求出椭圆的短轴长．
（2）由知椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，设P（x₀，y₀），M（x，y），利用代入法能求出点M的轨迹方程．

解答 解：（1）∵椭圆C的左，右焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴设椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
则$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2$\sqrt{2}$，b=2，c=2，
∴椭圆C短轴长2b=4，．
（2）由（1）知椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
设P（x₀，y₀），M（x，y），
则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}=1$，$x=\frac{{x}_{0}}{2}$，y=y₀，
代入，得$\frac{（2x）^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
整理，得$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
∴点M的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

点评 本题考查椭圆的短轴长的求法，考查点的轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．