Question

11．设椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为e，过F₂的直线与椭圆的交于A，B两点，若△F₁AB是以A为顶点的等腰直角三角形，则e²=（　　）

• A． 3-2$\sqrt{2}$
• B． 5-3$\sqrt{2}$
• C． 9-6$\sqrt{2}$
• D． 6-4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设|F₁F₂|=2c，|AF₁|=m，若△ABF₁构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF₁|=m，|BF₁|=$\sqrt{2}$m，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，求得e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$．

解答 解：解：如图，设|F₁F₂|=2c，|AF₁|=m，
若△ABF₁构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，
则|AB|=|AF₁|=m，|BF₁|=$\sqrt{2}$m，
由椭圆的定义可得△ABF₁的周长为4a，
即有4a=2m+$\sqrt{2}$m，即m=2（2-$\sqrt{2}$）a，
则|AF₂|=2a-m=（2$\sqrt{2}$-2）a，
在直角三角形AF₁F₂中，
|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²，即4c²=4（2-$\sqrt{2}$）²a²+4（$\sqrt{2}$-1）²a²，
∴c²=（9-6$\sqrt{2}$）a²，则e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=9-6$\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用椭圆的定义是解题的关键，是中档题．