Question

16．已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，点E为AB中点，点F为PD中点．
（1）证明平面PED⊥平面PAB；
（2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）先由已知条件证明∴△ADB为等边三角形，AB⊥DE，易证AB⊥PD，得到AB⊥面PED，进而证明面PED⊥面PAB．
（2）先由二面角的定义找出二面角的平面角，把二面角的平面角放在一个三角形中，求出此角的余弦值．

解答 （1）证明：连接BD．∵AB=AD，∠DAB=60°，∴△ADB为等边三角形．
∵E是AB中点，∴AB⊥DE．（2分）
∵PD⊥面ABCD，AB?面ABCD，∴AB⊥PD．
∵DE?面PED，PD?面PED，DE∩PD=D，∴AB⊥面PED． （4分）
∵AB?面PAB，
∴面PED⊥面PAB．  （6分）
（2）解：∵AB⊥平面PED，PE?面PED，∴AB⊥PE．
连接EF，∵EF?PED，
∴AB⊥EF．
∴∠PEF为二面角P-AB-F的平面角．（9分）
设AD=2，那么PF=FD=1，DE=$\sqrt{3}$．
在△PEF中，PE=$\sqrt{7}，EF=2，PF=1$，
∴$cos∠PEF=\frac{{{{（\sqrt{7}）}^2}+{2^2}-1}}{{2×2\sqrt{7}}}=\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$，
即二面角P-AB-F的平面角的余弦值为$\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$．（12分）

点评 本题主要考查面面垂直的判断以及二面角的求解，根据面面垂直的判定定理以及二面角的平面角的定义是解决本题的关键．