Question

6．设函数f（x）=|x-c|．
（Ⅰ）求证：$f（x）+f（-\frac{1}{x}）≥2$；
（Ⅱ）若c＞2，不等式$|{f（{\frac{1}{2}x+c}）-\frac{1}{2}f（x）}|≤1$的解集为{x|1≤x≤3}，求c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据绝对值的性证明即可；（Ⅱ）求出g（x）的分段函数的形式，得到关于c的方程组，解出即可．

解答 （Ⅰ）证明：$f（x）+f（-\frac{1}{x}）=|{x-c}|+|{-\frac{1}{x}-c}|=|{x-c}|+|{\frac{1}{x}+c}|$$≥|{（x-c）+（\frac{1}{x}+c）}|=|{x+\frac{1}{x}}|=|x|+\frac{1}{|x|}≥2\sqrt{|x|+\frac{1}{|x|}}=2$；
（Ⅱ）解：$g（x）=f（\frac{1}{2}x+c）-\frac{1}{2}f（x）=|{\frac{1}{2}x+c-c}|-\frac{1}{2}|{x-c}|=\frac{1}{2}|x|-\frac{1}{2}|{x-c}|$，
则$g（x）=\left\{\begin{array}{l}-\frac{c}{2}，x≤0\\ x-\frac{c}{2}，0＜x＜c\\ \frac{c}{2}，x≥c\end{array}\right.$，
由|g（x）|≤1时，又c＞2，所以$|{x-\frac{c}{2}}|≤1$，
即$-1≤x-\frac{1}{2}≤1$，所以$\left\{\begin{array}{l}1+\frac{c}{2}=3\\-1+\frac{c}{2}=1\end{array}\right.$，
所以c=4．

点评 本题考查了绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．