Question

14．设函数f（x）=|x-4|-|x-1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤1的解集；
（Ⅱ）若{x|f（x）≥t²-2t}∩{x|0≤x≤2}≠∅，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据绝对值的几何意义求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为f（x）_max≥t²-2t在[0，2]成立，求出f（x）的最大值，解出t即可．

解答 解：（Ⅰ）由|x-4|-|x-1|的几何意义知：
f（x）表示点P（x，0）到点A（4，0）和点B（1，0）的距离之差，
故{x|x≥2}；
（Ⅱ）使{x|f（x）≥t²-2t}∩{x|0≤x≤2}≠∅成立，
知存在x₀∈[0，2]使得f（x₀）≥t²-2t成立，
即f（x）_max≥t²-2t在[0，2]成立，
f（x）在[0，2]上的最大值是3，
∴t²-2t≤3，解得：-1≤t≤3．

点评 本题考查了绝对值的意义，考查解绝对值不等式问题，是一道中档题，