Question

2．（1）已知实数a，b满足|a|＜2，|b|＜2，证明：2|a+b|＜|4+ab|；
（2）已知a＞0，求证：$\sqrt{{a^2}+\frac{1}{a^2}}$-$\sqrt{2}$≥a+$\frac{1}{a}$-2．

Answer 1

分析 （1）法一：根据综合法证明即可；法二：根据分析法证明即可；（2）根据分析法证明即可．

解答 （1）证明：证法一∵|a|＜2，|b|＜2，∴a²＜4，b²＜4，
∴4-a²＞0，4-b²＞0．∴（4-a²）（4-b²）＞0，即16-4a²-4b²+a²b²＞0，
∴4a²+4b²＜16+a²b²，∴4a²+8ab+4b²＜16+8ab+a²b²，
即（2a+2b）²＜（4+ab）²，
∴2|a+b|＜|4+ab|．
证法二：要证2|a+b|＜|4+ab|，
只需证4a²+4b²+8ab＜16+a²b²+8ab，
只需证4a²+4b²＜16+a²b²，
只需证16+a²b²-4a²-4b²＞0，即（4-a²）（4-b²）＞0．               
∵|a|＜2，|b|＜2，∴a²＜4，b²＜4，
∴（4-a²）（4-b²）＞0成立．
∴要证明的不等式成立．
（2）证明：要证$\sqrt{{a^2}+\frac{1}{a^2}}$-$\sqrt{2}$≥a+$\frac{1}{a}$-2，
只需证$\sqrt{{a^2}+\frac{1}{a^2}}$+2≥a+$\frac{1}{a}$+$\sqrt{2}$，
只需证a²+$\frac{1}{a^2}$+4+4$\sqrt{{a^2}+\frac{1}{a^2}}$≥a²+$\frac{1}{a^2}$+2+2$\sqrt{2}（{a+\frac{1}{a}}）$+2，
即证2$\sqrt{{a^2}+\frac{1}{a^2}}$≥$\sqrt{2}（{a+\frac{1}{a}}）$，
只需证4$（{{a^2}+\frac{1}{a^2}}）$≥2$（{{a^2}+\frac{1}{a^2}+2}）$，
即证a²+$\frac{1}{a^2}$≥2，此式显然成立．∴原不等式成立．

点评 本题考查了不等式的证明，考查证明不等式的方法，是一道中档题．