Question

20．已知圆O₁：（x-2）²+y²=16和圆O₂：x²+y²=r²（0＜r＜2），动圆M与圆O₁、圆O₂都相切，切圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e₁，e₂（e₁＞e₂），则e₁+2e₂的最小值是$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 讨论：①当动圆M与圆O₁、O₂都相内切时，②当动圆M与圆O₁相内切而与O₂相外切时，分别求出e₁、e₂（e₁＞e₂），利用基本不等式求出e₁+2e₂的最小值．

解答 解：①当动圆M与圆O₁、O₂都相内切时，
|MO₂|+|MO₁|=4-r=2a，
∴e₁=$\frac{2}{4-r}$．
②当动圆M与圆O₁相内切而与O₂相外切时，
|MO₁|+|MO₂|=4+r=2a′，
∴e₂=$\frac{2}{4+r}$，
∴e₁+2e₂=$\frac{2}{4-r}$+$\frac{4}{4+r}$=$\frac{24-2r}{16-{r}^{2}}$，
令12-r=t（10＜t＜12），e₁+2e₂=2×$\frac{1}{24-t-\frac{128}{t}}$≥2×$\frac{1}{24-16\sqrt{2}}$
=$\frac{1}{12-8\sqrt{2}}$=$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了两圆相切的性质、椭圆的性质，主要是椭圆的离心率，考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．