Question

14．已知在△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且2cos²$\frac{C}{2}$+（cosB-$\sqrt{3}$sinB）cosA=1．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）求f（x）=4cosxcos（x-A）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinAsinB=$\sqrt{3}$sinBcosA，由于sinB≠0，可求tanA=$\sqrt{3}$，结合范围A∈（0，π），可得A的值．
（Ⅱ）利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可求2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
利用正弦函数的图象和性质即可解得其值域．

解答 解：（Ⅰ）∵2cos²$\frac{C}{2}$+（cosB-$\sqrt{3}$sinB）cosA=1．
⇒1+cosC+cosBcosA-$\sqrt{3}$sinBcosA=1，
⇒cosC+cosBcosA=$\sqrt{3}$sinBcosA，
⇒-cos（A+B）+cosBcosA=$\sqrt{3}$sinBcosA，
⇒-cosAcosB+sinAsinB+cosBcosA=$\sqrt{3}$sinBcosA，
⇒sinAsinB=$\sqrt{3}$sinBcosA，
∵sinB≠0，
∴tanA=$\sqrt{3}$，
∴由A∈（0，π），可得：A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵f（x）=4cosxcos（x-$\frac{π}{3}$）=4cosx（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1∈[0，3]．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数、正切函数的图象和性质，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．