Question

6．已知O为坐标原点，F为椭圆C：x²+$\frac{y^2}{2}$=1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-$\sqrt{2}$的直线l与C交与A、B两点，四边形OAPB为平行四边形．
（Ⅰ）证明：点P在椭圆C上；
（Ⅱ）求四边形OAPB的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知F（0，1），直线l的方程为$y=-\sqrt{2}x+1$，代入${x^2}+\frac{y^2}{2}=1$，得$4{x^2}-2\sqrt{2}x-1=0$，由平行四边形性质得$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，由此能证明点P在椭圆C上．
（Ⅱ）由已知求出|AB|和原点O到直线l：$y=-\sqrt{2}x+1$的距离，由此能求出四边形OAPB的面积．

解答 证明：（Ⅰ）∵O为坐标原点，F为椭圆C：x²+$\frac{y^2}{2}$=1在y轴正半轴上的焦点，
∴F（0，1），直线l的方程为$y=-\sqrt{2}x+1$，代入${x^2}+\frac{y^2}{2}=1$
并化简得$4{x^2}-2\sqrt{2}x-1=0$，…2分
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），
∵四边形OAPB为平行四边形，∴$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，…3分
可得（x₃，y₃）=（x₁，y₁）+（x₂，y₂）
∴${x_3}={x_1}+{x_2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，${y_3}={y_1}+{y_2}=-\sqrt{2}（{x_1}+{x_2}）+2=1$，故$P（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$…5分
经验证点P的坐标$（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$满足方程${x^2}+\frac{y^2}{2}=1$，
故点P在椭圆C上．…6分
解：（Ⅱ）∵$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{3}\sqrt{{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^2}-4（-\frac{1}{4}）}=\frac{3}{2}\sqrt{2}$…8分
原点O到直线l：$y=-\sqrt{2}x+1$的距离 $d=\frac{1}{{\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…10分
∴四边形OAPB的面积：
$S=2{S_{△OAB}}=|{AB}|•d=\frac{3}{2}\sqrt{2}•\frac{{\sqrt{3}}}{3}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．…12分．

点评 本题考查点在椭圆上的证明，考查四边形面积的求法，解题时要注意圆锥曲线、椭圆性质、点到直线的距离公式的合理运用，是中档题．