练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    18．在△ABC中．
    （1）|$\overrightarrow{AC}$|=2，AD⊥BC于D，∠BAD=45°，∠DAC=60°，求$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{AC}$．
    （2）如果（1）的条件下，△ABC中，PQ是以A为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆的直径，求$\overrightarrow{BP}•\overline{CQ}$的最大值，最小值，并指出取最大值，最小值时向量$\overrightarrow{PQ}$与$\overrightarrow{BC}$的夹角．

    分析 （1）建立直角坐标系，利用点的坐标表示向量，然后求解数量积的值．
    （2）利用向量的转化为已知向量的关系，通过向量的数量积推出数量积的表达式，然后求解最值．

    解答 解：（1）以BC，DA分别为x，y轴如图，
    |$\overrightarrow{AC}$|=2，AD⊥BC于D，∠BAD=45°，∠DAC=60°，
    可得A（0，1），B（-1，0），C（$\sqrt{3}$，0），
    D（0，0），
    $\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{AC}$=（1，0）（-1，$\sqrt{3}$）=-1，
    $\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{AC}$=（1，1）（-1，$\sqrt{3}$）=$\sqrt{3}-1$．
    （2）设$\overrightarrow{AQ}$与x轴正方向成角θ，即向量$\overrightarrow{PQ}$与$\overrightarrow{BC}$的夹角为：θ．
    $\overrightarrow{BP}•\overline{CQ}$=（$\overrightarrow{AP}$-$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AQ}$-$\overrightarrow{AC}$）=（$\overrightarrow{AP}$-$\overrightarrow{AB}$）•（-$\overrightarrow{AP}$-$\overrightarrow{AC}$）
    =-$\overrightarrow{AP}$2+（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$
    =-${\overrightarrow{AP}}^{2}$+$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$--------（6分）
    ∵${\overrightarrow{AP}}^{2}$=2，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cos∠BAC
    =2$\sqrt{2}$cos105°
    =1-$\sqrt{3}$----------（8分）
    ∴$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{CQ}$=-2+$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{AP}$+1-$\sqrt{3}$=-1-$\sqrt{3}$+|$\overrightarrow{CB}$|•|$\overrightarrow{AP}$|cosθ
    =-1-$\sqrt{3}$+（1+$\sqrt{3}$）×$\sqrt{2}$cosθ=-1-$\sqrt{3}$+（1+$\sqrt{3}$）cosθ---（10分）
    当$\overrightarrow{CB}$与$\overrightarrow{AP}$方向相同时，$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{CQ}$取得最大值0，此时$\overrightarrow{PQ}$与$\overrightarrow{BC}$的方向相同；------（11分）
    当$\overrightarrow{CB}$与$\overrightarrow{AP}$方向相反时，$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{CQ}$取得最小值-2-2$\sqrt{3}$，此时$\overrightarrow{PQ}$与$\overrightarrow{BC}$的方向相反------（12分）

    点评 本题考查向量在几何中的应用，向量的坐标运算以及数量积的应用，考查转化思想以及计算能力．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    8．已知F1，F2分别为椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，连接AF2和BF2．
    （Ⅰ）求△ABF2的周长；
    （Ⅱ）若AF2⊥BF2，求△ABF2的面积．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    9．如图所示，点F1（-1，0），F2（1，0），动点M到点F2的距离是$2\sqrt{2}$，线段MF1的中垂线交MF2于点P．
    （Ⅰ）当点M变化时，求动点P的轨迹G的方程；
    （Ⅱ）设直线l：y=kx+m与轨迹G交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为α、β，且α+β=π，求证：直线l经过定点，并求该定点的坐标．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    6．已知O为坐标原点，F为椭圆C：x2+$\frac{y^2}{2}$=1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-$\sqrt{2}$的直线l与C交与A、B两点，四边形OAPB为平行四边形．
    （Ⅰ）证明：点P在椭圆C上；
    （Ⅱ）求四边形OAPB的面积．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    13．“x＞2“是“x2+2x-8＞0“成立的（　　）
    A．必要不充分条件B．充分不必要条件
    C．充要条件D．既不充分也不必要条件

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    3．已知实数a，b满足a＞b，且ab=2，则$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+1}{a-b}$的最小值是$2\sqrt{5}$．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    10．4位同学各自在阳光体育时间活动，可以选择足球和篮球两项运动中一项，则这两项活动都有同学选择的概率为（　　）
    A．$\frac{1}{8}$B．$\frac{3}{8}$C．$\frac{5}{8}$D．$\frac{7}{8}$

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    7．在复平面上，复数$\frac{2+4i}{1+i}$对应的点位于（　　）
    A．第一象限B．第三象限C．第二象限D．第四象限

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    8．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆W：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆所得的弦的弦长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，过点A的直线与椭圆W交于另一点C，
    （Ⅰ）求椭圆W的标准方程
    （Ⅱ）当AC的斜率为$\frac{1}{3}$时，求线段AC的长；
    （Ⅲ）设D是AC的中点，且以AB为直径的圆恰过点D，求直线AC的斜率．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案