Question

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆W：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆所得的弦的弦长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，过点A的直线与椭圆W交于另一点C，
（Ⅰ）求椭圆W的标准方程
（Ⅱ）当AC的斜率为$\frac{1}{3}$时，求线段AC的长；
（Ⅲ）设D是AC的中点，且以AB为直径的圆恰过点D，求直线AC的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用离心率公式，将x=$\sqrt{6}$k代入椭圆方程，求得弦长，解方程可得k，进而得到a，b，可得椭圆方程；
（Ⅱ）求得AC的方程，代入椭圆方程，求得C的坐标，由两点的距离公式，计算即可得到所求值；
（Ⅲ）依题意，设直线AC的方程为y=kx-1，k≠0．代入椭圆方程，求得C，D的坐标，再由以AB为直径的圆恰过点D，|OD|=1，运用两点的距离公式计算即可得到所求斜率．

解答 解：（Ⅰ）由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，设a=3k（k＞0），则c=$\sqrt{6}$k，b=$\sqrt{3}$k，
所以椭圆W的方程为$\frac{{x}^{2}}{9{k}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3{k}^{2}}$=1，
把x=$\sqrt{6}$k代入椭圆方程，
解得y=±k，于是2k=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以椭圆W的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（Ⅱ）由已知A（0，-1），
直线AC的方程为y=$\frac{1}{3}$x-1．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x-1}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$得2x²-3x=0，解得x=$\frac{3}{2}$或x=0（舍），
所以点C的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
所以|AC|=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（-\frac{1}{2}+1）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
（Ⅲ）依题意，设直线AC的方程为y=kx-1，k≠0．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$得（1+3k²）x²-6kx=0，
解得x=$\frac{6k}{1+3{k}^{2}}$或x=0（舍），所以点C的横坐标为$\frac{6k}{1+3{k}^{2}}$，
设点D的坐标为（x₀，y₀），则x₀=$\frac{3k}{3{k}^{2}+1}$，
y₀=kx₀-1=$\frac{-1}{3{k}^{2}+1}$，
因为以AB为直径的圆恰过点D，所以|OD|=1，
即（$\frac{3k}{1+3{k}^{2}}$）²+（$\frac{-1}{1+3{k}^{2}}$）²=1．
整理得k²=$\frac{1}{3}$，
所以k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和弦长的求法，考查直线方程的运用，注意联立直线方程和椭圆方程，考查运算化简能力，属于中档题．