Question

19．如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥DC，点E是AC的中点，点F是线段AD上的动点，AB=BC=2．
（1）若DC∥平面BEF，求$\frac{AF}{AD}$的值；
（2）若EF⊥AD，当平面BEF和平面BCD所成的二面角的余弦值是$\frac{2\sqrt{17}}{17}$时，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理进行求解即可．
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量利用向量法进行求解即可得到结论．

解答 解：（1）若DC∥平面BEF，
∵平面BEF∩平面ACD=EF，
∴CD∥EF，
则$\frac{AF}{AD}$=$\frac{AE}{AC}$，
∵E是AC的中点，
∴$\frac{AF}{AD}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{2}$；
（2）∵BC⊥DC，AB⊥平面BCD，
∴过B作CD的平行线，
建立以B为坐标原点，Bx，BC，BA分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
设CD=a，
∵AB=BC=2，
∴B（0，0，0），A（0，0，2），C（0，2，0），D（a，2，0），
∵E是AC的中点，∴E（0，1，1），
∵AB=BC，E是AC的中点，
∴BE⊥AC，又可证得CD⊥AC
∴CD⊥平面ABC，
∴CD⊥BE，结合BE⊥AC，可得BE⊥面ADC，可得BE⊥AD
∵EF⊥AD，
∴AD⊥面BEF，
∴$\overrightarrow{AD}$是平面BEF的法向量，则$\overrightarrow{AD}$=（a，2，-2），
平面BCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
则cos＜$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{-2}{1×\sqrt{{a}^{2}+4+4}}$=$\frac{-2}{\sqrt{{a}^{2}+8}}$，
∵平面BEF和平面BCD所成的二面角的余弦值是$\frac{2\sqrt{17}}{17}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{-2}{\sqrt{{a}^{2}+8}}$|=$\frac{2\sqrt{17}}{17}$，
得a=3，即CD的长为3．

点评 本小题主要考查线面平行的应用和二面角的求解，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，综合性较强，运算量较大．