Question

17．如图，一抛物线型拱桥的拱顶O离水面高4米，水面宽度AB=10米．现有一竹排运送一只货箱欲从桥下经过，已知货箱长20米，宽6米，高2.58米（竹排与水面持平），问货箱能否顺利通过该桥？

Answer 1

分析 可以O为坐标原点，AB的垂线为y轴建立平面直角坐标系，从而根据条件即可求出抛物线的方程为${x}^{2}=-\frac{25}{4}y$，根据条件可以设C（3，-4），过C作AB的垂线交抛物线于D（3，y₀），带入抛物线方程便可求出y₀，从而可求出|CD|的值，与货箱的高2.58比较便可判断出货箱能否顺利通过该桥．

解答 解：以O为原点，过O垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系：
设抛物线方程为x²=my，根据题意知点B（5，-4）在抛物线上；
∴25=-4m；
∴$m=-\frac{25}{4}$；
∴${x}^{2}=-\frac{25}{4}y$；
可设C（3，-4），过C作AB的垂线，交抛物线于D（3，y₀），则$9=-\frac{25}{4}{y}_{0}$；
∴${y}_{0}=-\frac{36}{25}$；
∴$|CD|=\frac{36}{25}＜2.58$；
∴货箱不能顺利通过该桥．

点评 考查通过建立平面直角坐标系，利用曲线方程解决实际问题的方法，抛物线的标准方程，待定系数法求抛物线的方程，以及抛物线上点的坐标和抛物线方程的关系．