Question

11．数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，数列{b_n}满足b_n=a_n+1+（-1）ⁿa_n，n∈N^*．
（Ⅰ）若数列{a_n}是等比数列，a_n=32，求项数n的值；
（Ⅱ）若数列{b_n}是常数列，求数列{a_n}的前2016项的和S₂₀₁₆．

Answer 1

分析 （I）利用等比数列的通项公式即可得出．
（II）由数列{b_n}是常数列，可得b₁=a₂-a₁=1．利用a_n+1+（-1）ⁿa_n=1，n∈N^*．可得a_2k+1+a_2k=1，a_2k-a_2k-1=1，k∈N^*．a_2k+1=-a_2k-1，a_2k+a_2k+2=2．分组求和即可得出．

解答 解：（I）数列{a_n}是等比数列，
∴a_n=32=${a}_{1}（\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}）^{n-1}$=2^n-1，
解得n=6．
（II）∵数列{b_n}是常数列，
b₁=a₂-a₁=1，
∴a_n+1+（-1）ⁿa_n=1，n∈N^*．
∴a_2k+1+a_2k=1，a_2k-a_2k-1=1，k∈N^*．
∴a_2k+1=-a_2k-1，a_2k+a_2k+2=2．
∴数列{a_n}的前2016项的和S₂₀₁₆=（a₁+a₃）+（a₅+a₇）+…+（a₂₀₁₃+a₂₀₁₅）+（a₂+a₄）+…+（a₂₀₁₄+a₂₀₁₆）
=0+2×504=1008．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、分类讨论方法、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．