Question

18．抛物线y=x²-2x+2交直线y=mx（m＞0）于P₁、P₂两点，点Q在线段P₁P₂上，且满足：$\frac{1}{|O{P}_{1}|}$+$\frac{1}{|O{P}_{2}|}$=$\frac{2}{|OQ|}$．求：点Q轨迹．

Answer 1

分析 设直线y=mx（m＞0）的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，0＜α＜$\frac{π}{2}$），代入抛物线的方程，运用判别式大于0，以及韦达定理，设OQ=t，代入条件求得Q的坐标，化简可得Q的轨迹方程，进而得到Q的轨迹．

解答 解：设直线y=mx（m＞0）的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，0＜α＜$\frac{π}{2}$），
代入抛物线的方程，可得t²cos²α-（2cosα+sinα）t+2=0，
可得△=（2cosα+sinα）²-8cos²α＞0，即sin²α+4sinαcosα-4cos²α＞0，
即有tan²α+4tanα-4＞0，解得tanα＞2$\sqrt{2}$-2．
t₁+t₂=$\frac{2cosα+sinα}{co{s}^{2}α}$，t₁t₂=$\frac{2}{co{s}^{2}α}$，
设OQ=t，由$\frac{1}{|O{P}_{1}|}$+$\frac{1}{|O{P}_{2}|}$=$\frac{2}{|OQ|}$，cos$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4cosα}{2cosα+sinα}}\\{y=\frac{4sinα}{2cosα+sinα}}\end{array}\right.$
可得$\frac{2}{t}$=$\frac{1}{{t}_{1}}$+$\frac{1}{{t}_{2}}$=$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{2cosα+sinα}{2}$，
可得t=$\frac{4}{2cosα+sinα}$，
即有Q的坐标为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4cosα}{2cosα+sinα}}\\{y=\frac{4sinα}{2cosα+sinα}}\end{array}\right.$，
即为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{2+tanα}}\\{y=\frac{4tanα}{2+tanα}}\end{array}\right.$，可得tanα=$\frac{y}{x}$，
代入可得y=4-2x，（0＜x＜$\sqrt{2}$），
即有Q的轨迹为线段y=4-2x，（0＜x＜$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查轨迹方程的求法，注意运用直线的参数方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．