Question

8．已知函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1，且当x$∈[0，\frac{π}{2}]$时，f（x）的最小值为2．
（1）求a的值，并求（x）的单调递增区间；
（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的$\frac{1}{2}$，再将所得的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，$\frac{π}{2}$]上所有根之和．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得a的值．
（2）由题意利用正弦函数的图象可得sin（x+$\frac{π}{12}$）=$\frac{1}{2}$，由此求得它在区间[0，$\frac{π}{2}$]上所有根，从而得出结论

解答 解：（1）当x$∈[0，\frac{π}{2}]$时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，故当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$时，
函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1的最小值为-1+a+1=2，∴a=2．
（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的$\frac{1}{2}$，
可得y=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+3的图象；
再将所得的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位，得到函数y=g（x）=2sin（x-$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{6}$）+3=2sin（x+$\frac{π}{12}$）+3的图象，
方程g（x）=4在区间[0，$\frac{π}{2}$]上所有根之和，
即方程 sin（x+$\frac{π}{12}$）=$\frac{1}{2}$在区间[0，$\frac{π}{2}$]上所有根之和．
而方程 sin（x+$\frac{π}{12}$）=$\frac{1}{2}$在区间[0，$\frac{π}{2}$]上所有根满足x+$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{6}$，即x=$\frac{π}{12}$，
故方程 sin（x+$\frac{π}{12}$）=$\frac{1}{2}$在区间[0，$\frac{π}{2}$]上所有根之和为$\frac{π}{6}$．

点评 本题主要考查正弦函数的定义域和值域，正弦函数的图象，属于基础题．