Question

17．${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$（x²sinx+cos²x）dx等于$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 根据定积分的性质和二倍角公式即可求出．

解答 解：∵f（x）=x²sinx为奇函数，且积分上下限关于原点对称，
∴${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$（x²sinx）dx=0，
∵${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cos²xdx=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$$\frac{cos2x+1}{2}$dx=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$sin2x+x）|${\;}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$
∴${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$（x²sinx+cos²x）dx=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$（x²sinx）dx+${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cos²xdx=0+$\frac{π}{2}$=$\frac{π}{2}$，
故答案为：$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查了定积分的计算和三角形函数的化简，属于基础题．