Question

7．椭圆mx²+ny²=1（m＞0，n＞0．m≠n）与直线x+y=1相交于A，B两点，若|AB|=2$\sqrt{2}$，AB的中点与椭圆中心线的斜率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则椭圆方程为（　　）

• A． 3x²$+\frac{\sqrt{2}}{3}{y}^{2}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{3}$$+\frac{\sqrt{2}}{3}$y²=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{3}$$+\sqrt{2}$y²=1
• D． x²$+\sqrt{2}$y²=1

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由点差法得m（x₁+x₂）（x₁-x₂）+n（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，设C（x₀，y₀），得n=$\sqrt{2}$m，椭圆mx²+$\sqrt{2}$my²=1，联立$\left\{\begin{array}{l}{m{x}^{2}+\sqrt{2}m{y}^{2}=1}\\{y=1-x}\end{array}\right.$，得（$\sqrt{2}$+1）mx²-2$\sqrt{2}$mx+$\sqrt{2}$m-1=0，运用韦达定理和椭圆弦长公式能求出m，n的值，即可得到椭圆方程．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将A，B点坐标代入方程得：
mx₁²+ny₁²=1，
mx₂²+ny₂²=1，
两式相减得：
m（x₁+x₂）（x₁-x₂）+n（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
设AB的中点为C（x₀，y₀），
即有$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=2{x}_{0}}\\{{y}_{1}+{y}_{2}=2{y}_{0}}\end{array}\right.$，
mx₀+ny₀•$\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$=0，
∴mx₀+ny₀k_AC=0，
m=-$\frac{n{y}_{0}}{{x}_{0}}$•k_AC=-n•$\frac{\sqrt{2}}{2}$•（-1）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$n，
即n=$\sqrt{2}$m，
∴椭圆mx²+$\sqrt{2}$my²=1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{m{x}^{2}+\sqrt{2}m{y}^{2}=1}\\{y=1-x}\end{array}\right.$，得（$\sqrt{2}$+1）mx²-2$\sqrt{2}$mx+$\sqrt{2}$m-1=0，
x₁+x₂=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{\sqrt{2}m-1}{（\sqrt{2}+1）m}$，
|AB|=$\sqrt{2}$$\sqrt{（\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}）^{2}-\frac{4（\sqrt{2}m-1）}{（\sqrt{2}+1）m}}$=2$\sqrt{2}$，
解得m=$\frac{1}{3}$，n=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{\sqrt{2}{y}^{2}}{3}$=1．
故选：B．

点评 本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法和椭圆弦长公式的合理运用．