Question

3．已知椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为4+2$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆M的方程；
（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的定义可得，2a+2c=4+2$\sqrt{3}$，即a+c=2+$\sqrt{3}$，再由a=2b，c=$\sqrt{3}$b，求出b=1，可得椭圆的方程；
（2）设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），代入椭圆方程，利用韦达定理，结合直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求出k的值，表示出△OPQ面积，即可求出△OPQ面积的取值范围．

解答 解：（1）由椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为4+2$\sqrt{3}$，
可得2a+2c=4+2$\sqrt{3}$，即a+c=2+$\sqrt{3}$，
由题意可得a=2b，c=$\sqrt{3}$b，
解得b=1，
则椭圆M的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，
故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，消去y得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0．
△=64k²m²-16（1+4k²）（m²-1）=16（4k²-m²+1）＞0，
且x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4（{m}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$．
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²．  
因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，
所以，$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=k²，
即$\frac{-8{k}^{2}{m}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+m²=0，
又m≠0，所以k²=$\frac{1}{4}$，即k=±$\frac{1}{2}$．                   
由于直线OQ的斜率存在，且△＞0，得0＜m²＜2且m²≠1．
设d为点O到直线l的距离，则S_△OPQ=$\frac{1}{2}$d|PQ|=$\frac{1}{2}$•$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|
=$\frac{1}{2}$|m|•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}（2-{m}^{2}）}$＜$\frac{{m}^{2}+2-{m}^{2}}{2}$=1，
所以S_△OPQ的取值范围为（0，1）．

点评 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．