Question

14．如图，在三棱锥P-ABC中，F、G、H分别是PC、AB、BC的中点，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，二面角B-PA-C为120°．
（I）证明：FG⊥AH；
（Ⅱ）求二面角A-CP-B的余弦值．

Answer 1

分析 （I）根据线面垂直的性质定理即可证明FG⊥AH；
（Ⅱ）建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可求二面角A-CP-B的余弦值．

解答 解：（I）设AC的中点是M，连接FM，GM，
∵PF=FC，∴FM∥PA，
∵PA⊥平面ABC，
∴FM⊥平面ABC，
∵AB=AC，H是BC的中点，
∴AH⊥BC，
∵GM∥BC，
∴AH⊥GM，
∴GF⊥AH
（Ⅱ）建立以A为坐标原点的空间直角坐标系如图：
则P（0，0，2），H（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），C（0，2，0），B（$\sqrt{3}$，-1，0），F（0，1，1），
则平面PAC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=2y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=\sqrt{3}x-3y=0}\end{array}\right.$，令z=1，则y=1，x=$\sqrt{3}$，
即$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，1），
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
即二面角A-CP-B的余弦值是$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本小题主要考查直线垂直的证明和二面角的求解，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，综合性较强，运算量较大．