Question

12．已知在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=5，AC=AA₁=4，BC=3，点D在AB上．
（1）若D是AB的中点，求证：AC₁∥平面B₁CD．
（2）当$\frac{BD}{AB}$=$\frac{9}{16}$时，求直线AC₁与平面CC₁D所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连结BC₁，交B₁C于O，连结OD，则OD∥AC₁，由此能证明AC₁∥平面B₁CD．
（2）以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出直线AC₁与平面CC₁D所成角的正弦值．

解答 证明：（1）连结BC₁，交B₁C于O，连结OD，
∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BCC₁B₁是平行四边形，
∴O是BC₁的中点，
又D是AB中点，∴OD∥AC₁，
∵AC₁?平面平面B₁CD，OD?平面B₁CD，
∴AC₁∥平面B₁CD．
解：（2）∵AA₁⊥平面ABC，AB=5，AC=AA₁=4，BC=3，
∴AB²=BC²+AC²，∴AC⊥BC，
以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，
C（0，0，0），C₁（0，0，4），A（0，4，0），B₁（3，0，4），B（3，0，0），D（$\frac{21}{16}，\frac{9}{4}，0$），
$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（0，-4，4），$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（0，0，4），$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{21}{16}，\frac{9}{4}$，0），
设平面CC₁D的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{C}_{1}}=4z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=\frac{21}{16}x+\frac{9}{4}y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\frac{7}{12}$，0），
设直线AC₁与平面CC₁D所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{A{C}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{7}{3}}{4\sqrt{2}•\frac{\sqrt{193}}{12}}$=$\frac{7\sqrt{386}}{386}$．
∴直线AC₁与平面CC₁D所成角的正弦值为$\frac{7\sqrt{386}}{386}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．