Question

1．已知点列${A_n}（{{a_n}，{b_n}}）（{n∈{N^*}}）$是函数y=a^x（a＞0，a≠1）图象上的点，点列B_n（n，0）满足|A_nB_n|=|A_nB_n+1|，若数列{b_n}中任意相邻三项能构成三角形三边，则a的取值范围是（　　）

• A． $0＜a＜\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$或$a＞\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}＜a＜1$或$1＜a＜\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• C． $0＜a＜\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$或$a＞\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}＜a＜1$或$1＜a＜\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$

Answer 1

分析 根据题意，得出a_n、b_n的解析式，讨论a＞1和0＜a＜1时，满足的条件，从而求出a的取值范围．

解答 解：由题意得，点B_n（n，0），A_n（a_n，b_n）满足|A_nB_n|=|A_nB_n+1|，
由中点坐标公式，可得B_nB_n+1的中点为（n+$\frac{1}{2}$，0），
即a_n=n+$\frac{1}{2}$，b_n=${a}^{n+\frac{1}{2}}$；
当a＞1时，以b_n-1，b_n，b_n+1为边长能构成一个三角形，
只需b_n-1+b_n+1＞b_n，
b_n-1＜b_n＜b_n+1，
即${a}^{n-\frac{1}{2}}$+${a}^{n+\frac{3}{2}}$＞${a}^{n+\frac{1}{2}}$，
即有1+a²＜a，
解得1＜a＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$；
同理，0＜a＜1时，解得$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜a＜1；
综上，a的取值范围是1＜a＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜a＜1，
故选B．

点评 本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，也考查了数列递推公式的应用问题，考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．