Question

13．给定正三棱锥P-ABC，M点为底面正三角形ABC内（含边界）一点，且M到三个侧面PAB、PBC、PAC的距离依次成等差数列，则点M的轨迹为（　　）

• A． 椭圆的一部分
• B． 一条线段
• C． 双曲线的一部分
• D． 抛物线的一部分

Answer 1

分析 先设点M到三个侧面PAB、PBC、PCA的距离为d-a，d，d+a，正三棱锥P-ABC中各个侧面的面积为S，体积为V，用等体积法可得d为常数，作平面α∥面PBC且它们的面面距离为d，则α与面ABC的交线即为点M的轨迹．

解答 解：设点M到三个侧面PAB、PBC、PCA的距离为d-a，d，d+a 
正三棱锥P-ABC中各侧面的面积为S，体积为V，
则$\frac{1}{3}$S（d-a）+$\frac{1}{3}S$d+$\frac{1}{3}S$（d+a ）=V，即Sd=V，
所以d为常数．
作平面α使α∥面PBC且它们的距离为d，则α与面ABC的交线即为点M的轨迹．
易知M的轨迹为一条线段．
故选：B．

点评 本小题主要考查等差数列、体积法的应用、轨迹方程等基础知识，考查空间想象能力思想、化归与转化思想．属于基础题．