Question

4．已知，在多面体EF-ABCD中，已知ABCD是边长为4的正方形，EF=2，EF∥AB，平面FBC⊥平面ABCD，M，N分别是AB，CD的中点．
（1）求证：平面MNE∥平面BCF；
（2）若在△BCF中，CF=$\sqrt{10}$，BC边上的高FH=3，求二面角E-AD-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由ABCD是正方形，M、N是AB、CD中点，得MN∥BC，从而BFEM是平行四边形，由此能证明平面MNE∥平面BCF．
（2）过E作ET⊥MN，于T，延长HT交AD于K，作出二面角的平面角，结合三角形的边角关系进行求解即可．

解答 （1）证明：∵ABCD是正方形，M、N是AB、CD中点，
∴MN∥BC，
∵MB=2=EF，EF∥AB，
∴BFEM是平行四边形，
∴ME∥BF，
∵MN，ME?平面MNE，BC，BF?平面BCF，
∴平面MNE∥平面BCF
（2）过E作ET⊥MN，于T，
延长HT交AD于K，
则HK⊥AD，连接EK，
则EK⊥AD，
即∠EKT是二面角E-AD-B的平面角，
∵BC边上的高FH=3，
∴EN=FH=3，KT=2，
则EK=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{9+4}$=$\sqrt{13}$，
则cos∠EKT=$\frac{KT}{EK}$=$\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查平面与平面平行的证明，考查二面角的求法，根据条件作出二面角的平面角是解决本题的关键．解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．