Question

14．己知函数f（x）=|2x+1|-|x-1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＜2的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤a-$\frac{{a}^{2}}{2}$有解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将f（x）写成分段函数式，讨论x的范围，解不等式，求交集即可得到所求解集；
（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≤a-$\frac{{a}^{2}}{2}$有解，即为f（x）_min≤a-$\frac{{a}^{2}}{2}$，运用一次函数的单调性，求得最小值，解二次不等式即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+1|-|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{x+2，x≥1}\\{3x，-\frac{1}{2}＜x＜1}\\{-x-2，x≤-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
当x≥1时，x+2＜2，即x＜0，可得x∈∅；
当-$\frac{1}{2}$＜x＜1时，3x＜2，即x＜$\frac{2}{3}$，可得-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{2}{3}$；
当x≤-$\frac{1}{2}$时，-x-2＜2，即x＞-4，可得-4＜x≤-$\frac{1}{2}$．
综上可得，不等式的解集为（-4，$\frac{2}{3}$）；
（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≤a-$\frac{{a}^{2}}{2}$有解，即为：
f（x）_min≤a-$\frac{{a}^{2}}{2}$，
由x≥1时，x+2≥3；
-$\frac{1}{2}$＜x＜1时，-$\frac{3}{2}$＜3x＜3：
x≤-$\frac{1}{2}$时，-x-2≥-$\frac{3}{2}$．
可得f（x）_min=-$\frac{3}{2}$，
即有a-$\frac{{a}^{2}}{2}$≥-$\frac{3}{2}$，
解得-1≤a≤3．
即有a的取值范围是[-1，3]．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，注意运用零点分区间法，考查不等式有解的条件，注意运用转化思想，求函数的最值，考查运算能力，属于中档题．