Question

6．已知椭圆C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点（$\frac{3}{2}$，1），一个焦点是F（0，-1）
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C与y轴的两个交点为A₁，A₂，点P在直线y=a²上，直线PA₁，PA₂分别与椭圆C交于M，N两点．试问：当点Q在直线y=a²上运动时，直线MN是否恒过定点Q？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）通过将点（$\frac{3}{2}$，1）代入椭圆方程、并利用a²-b²=1，计算即得结论；
（2）分MN斜率不存在与存在两种情况讨论，当点P不在y轴上时，分别联立直线PA₁方程、直线PA₂方程与椭圆方程，计算出k_QM、k_QN即可．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点（$\frac{3}{2}$，1），
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4{b}^{2}}$=1           ①
又∵椭圆的一个焦点是F（0，-1），
∴c²=a²-b²=1                 ②
由①②得：a²=4，b²=3，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1；
（2）结论：直线MN恒经过定点Q（0，1）．
证明如下：由（1）知a²=4，∴点P在直线y=4上，设P（t，4）．
当MN斜率不存在时，直线MN即y轴，通过点Q（0，1）；
当点P不在y轴上时，记A₁（0，2）、A₂（0，-2），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则直线PA₁方程：y=$\frac{4-2}{t-0}$x+2=$\frac{2}{t}$x+2，
直线PA₂方程：y=$\frac{4-（-2）}{t-0}$x-2=$\frac{6}{t}$x-2，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{t}x+2}\\{4{x}^{2}+3{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，得：（3+t²）x²+6tx=0，
解得x₁=-$\frac{6t}{3+{t}^{2}}$，y₁=$\frac{2{t}^{2}-6}{3+{t}^{2}}$，
∴k_QM=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$=$\frac{9-{t}^{2}}{6t}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{6}{t}x-2}\\{4{x}^{2}+3{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，得：（27+t²）x²-18tx=0
解得x₂=$\frac{18t}{27+{t}^{2}}$，y₂=$\frac{54-2{t}^{2}}{27+{t}^{2}}$，
∴k_QN=$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$=$\frac{9-{t}^{2}}{6t}$，
∵k_QM=$\frac{9-{t}^{2}}{6t}$=k_QN，
∴直线MN恒经过定点Q（0，1）．

点评 本题是一道直线与椭圆的综合题，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．