Question

16．已知圆心为H的圆x²+y²+2x-15=0和定点A（1，0），B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为椭圆，记为C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆C相交于P，Q和E，F，求$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{QF}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圆的方程求出圆心坐标和半径，由|MA|+|MH|=|MB|+|MH|=|BH|=4可得点M的轨迹是以A，H为焦点，4为长轴长的椭圆，则其标准方程可求；
（Ⅱ）利用向量减法法则得$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{QF}$=$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}$，然后分直线PQ的斜率不存在、直线PQ的斜率为0及直线PQ的斜率存在且不为0时分别求解．当直线PQ的斜率存在且不为0时，设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系结合配方法求得$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{QF}$的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由x²+y²+2x-15=0，得（x+1）²+y²=4²，
∴圆心为H（-1，0），半径为4，
连接MA，由l是线段AB的中垂线，得|MA|=|MB|，
∴|MA|+|MH|=|MB|+|MH|=|BH|=4，
又|AH|=2＜4，
故点M的轨迹是以A，H为焦点，4为长轴长的椭圆，其方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）由直线EF与直线PQ垂直，可得$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{AF}=0$，
于是$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{QF}=（\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AP}）•（\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AQ}）=\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}$．
（1）当直线PQ的斜率不存在时，则直线EF的斜率的斜率为0，此时不妨取
P（$1，\frac{3}{2}$），Q（$1，-\frac{3}{2}$），E（2，0），F（-2，0），
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{QF}=（1，-\frac{3}{2}）•（-3，\frac{3}{2}）=-3-\frac{9}{4}=-\frac{21}{4}$；
（2）当直线PQ的斜率为0时，则直线EF的斜率不存在，同理可得$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{QF}=-\frac{21}{4}$；
（3）当直线PQ的斜率存在且不为0时，则直线EF的斜率也存在，
于是可设直线PQ的方程为y=k（x-1），则直线EF的方程为y=$-\frac{1}{k}（x-1）$，
将直线PQ的方程代入曲线C的方程，整理得：
（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴${x}_{P}+{x}_{Q}=\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}，{x}_{P}{x}_{Q}=\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
于是，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}=（{x}_{P}-1）（{x}_{Q}-1）+{y}_{P}{y}_{Q}$=（1+k²）[x_Px_Q-（x_P+x_Q）+1]
=$（1+{k}^{2}）（\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}-\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}+1）=-\frac{9（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$．
将上面的k换成$-\frac{1}{k}$，可得$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}=-\frac{9（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{QF}=\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}$=$-9（1+{k}^{2}）（\frac{1}{3+4{k}^{2}}+\frac{1}{4+3{k}^{2}}）$，
令1+k²=t，则t＞1，于是上式化简整理可得：
$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{QF}=-9t（\frac{1}{4t-1}+\frac{1}{3t+1}）$=$-\frac{63{t}^{2}}{12{t}^{2}+t-1}=-\frac{63}{\frac{49}{4}-（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）^{2}}$．
由t＞1，得0$＜\frac{1}{t}＜1$，
∴$-\frac{21}{4}＜\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{QF}≤-\frac{36}{7}$．
综合（1）（2）（3）可知，所求$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{QF}$的取值范围为[$-\frac{21}{4}，-\frac{36}{7}$]．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了向量法在求解问题中的应用，属中档题．