Question

10．如图所示，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=1，AA₁=2，D是AC的中点，AB⊥平面B₁C₁CB，∠BCC₁=60°．
（1）求证：AC⊥平面BDC₁；
（2）线段CC₁上是否存在动点E使得二面角B₁-BE一A₁的大小为45°？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的判定定理即可证明AC⊥平面BDC₁；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．

解答 证明：（1）∵AB⊥平面B₁C₁CB，AB?平面ABC，
∴平面ABC⊥面B₁C₁CB，
∵BC=1，AA₁=2，∠BCC₁=60°，
∴BC₁²=4+1-2×$2×1×\frac{1}{2}$=3，即BC₁=$\sqrt{3}$，
满足CC₁²=BC₁²+BC²，
即BC₁⊥BC，
则BC₁⊥面ABC，
AC?面ABC，
∴BC₁⊥AC，
∵AB=BC=1，D是AC的中点，
∴AC⊥BD，
∵BC₁∩BD=B，
∴AC⊥平面BDC₁；
（2）建立以B为坐标原点，OC，OA，OC₁分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则C（1，0，0），B（0，0，0），A（0，1，0），D（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），C₁（0，0，$\sqrt{3}$），B₁（-1，0，$\sqrt{3}$），
设CE=λCC₁，
则$\overrightarrow{CE}$=λ$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=λ（-1，0，$\sqrt{3}$）=（-λ，0，$\sqrt{3}$λ），$\overrightarrow{{B}_{1}{A}_{1}}$=$\overrightarrow{BA}$=（0，1，0），
则平面B₁BE的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
设平面BEA₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=$\overrightarrow{B{B}_{1}}$+$\overrightarrow{BA}$=（-1，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}$=（1，0，0）+（-λ，0，$\sqrt{3}$λ）=（1-λ，0，$\sqrt{3}$λ），
由$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BE}$=0，
得$\left\{\begin{array}{l}{-x+y+\sqrt{3}z=0}\\{（1-λ）x+\sqrt{3}λz=0}\end{array}\right.$，令x=λ，则z=$\frac{λ-1}{\sqrt{3}}$，y=1，则$\overrightarrow{n}$=（λ，1，$\frac{λ-1}{\sqrt{3}}$），
∵面角B₁-BE一A₁的大小为45°，
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即$\frac{1}{1×\sqrt{{λ}^{2}+1+（\frac{λ-1}{\sqrt{3}}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
平方整理得2λ²-λ-1=0，得λ=1或$λ=-\frac{1}{2}$（舍），
即CE=CC₁，即当E在C₁处时，满足条件．

点评 本小题主要考查线面垂直的判断和二面角的求解，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，综合性较强，运算量较大．