Question

20．已知抛物线y²=4x，椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{b}=1$，它们有共同的焦点F₂，若P是两曲线的一个公共点，且F₁是椭圆的另一个焦点，则△PF₁F₂的面积为（　　）

• A． $\sqrt{6}$
• B． $2\sqrt{6}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由已知得椭圆的半焦距c=1，m=8，设P（x₁，y₁），求出x₁=$\frac{3}{2}$，由此能求出${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$．

解答 解：依题意可知抛物线y²=4x焦点为（1，0），
∴椭圆的半焦距c=1，即9-m=1，m=8，
设P（x₁，y₁），由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{9}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{8}=1}\\{{{y}_{1}}^{2}=4{x}_{1}}\end{array}\right.$，得 2x²₁+9x₁-18=0，∴x₁=$\frac{3}{2}$，或x₁=-6（舍）．
∵x=-1是y²=4x的准线，即抛物线的准线过椭圆的另一个焦点F₁．
设点P到抛物线y²=4x的准线的距离为PN，则|PF₂|=|PN|．
又|PN|=x₁+1=$\frac{5}{2}$，
∴|PF₂|=$\frac{5}{2}$，|PF₁|=2a-$\frac{5}{2}$=$\frac{7}{2}$．
过点P作PP₁⊥x轴，垂足为P₁，PP₁=$\sqrt{6}$，
∴${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|PP₁|=$\sqrt{6}$．
故选：A．

点评 本题考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线、椭圆性质的合理运用．