Question

15．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的两个焦点分别为F₁，F₂，离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且过点（2，$\sqrt{2}$）．又M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F₁，F₂，且这两条直线互相垂直，则$\frac{1}{{|{MN}|}}+\frac{1}{{|{PQ}|}}$为定值（　　）

• A． $\frac{{3\sqrt{2}}}{8}$
• B． $\frac{{5\sqrt{2}}}{8}$
• C． $\frac{{7\sqrt{2}}}{8}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{8}$

Answer 1

分析 由已知求出椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，设直线MN的方程为y=k（x+2），则直线PQ的方程为y=-$\frac{1}{k}$（x-2）．由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²+8k²x+8k²-8=0，由韦达定理求出|MN|=$\frac{4\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{2{k}^{2}+1}$．同理可得|PQ|=$\frac{4\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}+2}$．由此能求出$\frac{1}{{|{MN}|}}+\frac{1}{{|{PQ}|}}$的值．

解答 解：由已知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴${e}^{2}=\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，解得a²=2b²．
∴椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，即x²+2y²=2b²．
∵椭圆C过点（2，$\sqrt{2}$），所以22+2（$\sqrt{2}$）2=2b2，
得b²=4，a²=8．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
∴椭圆C的焦点坐标为F₁（-2，0），F₂（2，0）．
根据题意，可设直线MN的方程为y=k（x+2），
由于直线MN与直线PQ互相垂直，则直线PQ的方程为y=-$\frac{1}{k}$（x-2）．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．由方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消y得（2k²+1）x²+8k²x+8k²-8=0．
则 x1+x2=-$\frac{8{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，x1x2=$\frac{8{k}^{2}-8}{2{k}^{2}+1}$．
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x1-x2|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{2{k}^{2}+1}$．
同理可得|PQ|=$\frac{4\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}+2}$．
∴$\frac{1}{{|{MN}|}}+\frac{1}{{|{PQ}|}}$=$\frac{2{k}^{2}+1}{4\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}+\frac{{k}^{2}+2}{4\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}$=$\frac{3{k}^{2}+3}{4\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}$=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$．
故选：A．

点评 本题考查两线段长的倒数和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理的合理运用．