Question

16．若椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，短轴长为2$\sqrt{3}$，焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$
• B． $\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$
• C． $\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$
• D． $\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$

Answer 1

分析 设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得b，再由离心率公式和a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程．

解答 解：设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得2b=2$\sqrt{3}$，即b=$\sqrt{3}$，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²-c²=b²=3，
解得a=2，c=1，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和a，b，c的关系，考查运算能力，属于基础题．