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    19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b≥1）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且椭圆C1上一点M到点Q（0，3）的距离的最大值为4．
    （Ⅰ）求椭圆C1的方程；
    （Ⅱ）设A（0，$\frac{1}{16}$），N为抛物线C2：y=x2上一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于B，C两点，求△ABC面积的最大值．

    分析 （Ⅰ）由椭圆的离心率及椭圆C1上一点M到点Q（0，3）的距离的最大值为4，利用椭圆性质能求出a，b，由此能求出椭圆C1的方程．
    （Ⅱ）设曲线C：y=x2上的点N（t，t2），由导数几何意义求出直线BC的方程为y=2tx-t2，代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，得（1+16t2）x2-16t3x+4t4-4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式能求出△ABC面积的最大值．

    解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C1：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b≥1）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
    ∴${e}^{2}=\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，∴a2=4b2，
    ∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，即x2+4y2=4b2，
    ∵椭圆C1上一点M到点Q（0，3）的距离的最大值为4，
    设M（x，y），则|MQ|=$\sqrt{（x-0）^{2}+（y-3）^{2}}$=$\sqrt{4{b}^{2}-4{y}^{2}+（y-3）^{2}}$
    =$\sqrt{-3{y}^{2}-6y+4{b}^{2}+9}$=$\sqrt{-3（y+1）^{2}+4{b}^{2}+12}$，
    ∴当y=-1时，|MQ|取最大值$\sqrt{4{b}^{2}+12}$=4，解得b2=1，则a2=4，
    ∴椭圆C1的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
    （Ⅱ）设曲线C：y=x2上的点N（t，t2），
    ∵y′=2x，∴直线BC的方程为y-t2=2t（x-t），即y=2tx-t2，①
    将①代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，整理，得（1+16t2）x2-16t3x+4t4-4=0，
    则△=（16t3）2-4（1+16t2）（4t4-4）=16（-t4+16t2+1），
    且${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{16{t}^{3}}{1+16{t}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{t}^{4}-4}{1+16{t}^{2}}$，
    ∴|BC|=$\sqrt{1+4{t}^{2}}$|x1-x2|=$\sqrt{1+4{t}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{1+4{t}^{2}•\sqrt{-{t}^{4}+16{t}^{2}+1}}}{1+16{t}^{2}}$，
    设点A到直线BC的距离为d，则d=$\frac{1+16{t}^{2}}{16\sqrt{1+4{t}^{2}}}$，
    ∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$|BC|d=$\frac{1}{2}$•$\frac{4\sqrt{1+4{t}^{2}}•\sqrt{-{t}^{4}+16{t}^{2}+1}}{1+16{t}^{2}}$•$\frac{1+16{t}^{2}}{16\sqrt{1+4{t}^{2}}}$，
    当t=$±2\sqrt{2}$时，取到“=”，此时△＞0，满足题意，
    ∴△ABC面积的最大值为$\frac{\sqrt{65}}{8}$．

    点评 本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用．

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    （1）求椭圆的标准方程；
    （2）已知过焦点F的直线交椭圆于P，Q两点．
    ①若OP⊥OQ，求直线PQ的斜率；
    ②若直线PQ的斜率为1，在线段OF之间是否存在一个点M（x0，0），使得以MP，MQ为邻边构成的平行四边形为菱形，若存在，求出M点的坐标；不存在，请说明理由．

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    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）是否存在过椭圆C的左焦点F且不与x轴重合的直线m，与椭圆C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线与x轴交于点P，与椭圆C交于点Q，使得四边形MPNQ为菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．

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    （Ⅰ）若△AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程；
    （Ⅱ）若$k=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；
    （Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，设P（x0，y0）为椭圆上一点，且直线PA的斜率k1∈（-2，-1），试求直线PB的斜率k2的取值范围．

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    （1）求椭圆的标准方程；
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    8．已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，右焦点为F（2，0），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
    （1）求椭圆C的方程；
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