Question

14．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F₁，F₂，且|F₁F₂|=6，直线y=kx与椭圆交于A，B两点．
（Ⅰ）若△AF₁F₂的周长为16，求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若$k=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，且A，B，F₁，F₂四点共圆，求椭圆离心率e的值；
（Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，设P（x₀，y₀）为椭圆上一点，且直线PA的斜率k₁∈（-2，-1），试求直线PB的斜率k₂的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意得c=3，2a+2c=16，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{4}x\end{array}\right.$，得$（{b^2}+\frac{1}{8}{a^2}）{x^2}-{a^2}{b^2}=0$．由此利用韦达定理、AB、EF互相平分且共圆，向量的数量积，结合已知条件能求出离心率．
（Ⅲ）由椭圆方程为$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1$，设A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），求出${k_1}{k_2}=\frac{{{y_0}^2-{y_1}^2}}{{{x_0}^2-{x_1}^2}}$，由此能求出直线PB的斜率k₂的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F₁，F₂，且|F₁F₂|=6，直线y=kx与椭圆交于A，B两点．
∴由题意得c=3，…（1分）根据2a+2c=16，得a=5．  …（2分）
结合a²=b²+c²，解得a²=25，b²=16．…（3分）
∴椭圆的方程为$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$．  …（4分）
（Ⅱ）（解法一）由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{4}x\end{array}\right.$，得$（{b^2}+\frac{1}{8}{a^2}）{x^2}-{a^2}{b^2}=0$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．则${x_1}+{x_2}=0，{x_1}{x_2}=\frac{{-{a^2}{b^2}}}{{{b^2}+\frac{1}{8}{a^2}}}$，…（6分）
由AB、EF互相平分且共圆，∴AF₂⊥BF₂，
∵$\overrightarrow{{F_2}A}=（{x_1}-3，{y_1}）$，$\overrightarrow{{F_2}B}=（{x_2}-3，{y_2}）$，
∴$\overrightarrow{{F_2}A}•\overrightarrow{{F_2}B}=（{x_1}-3）（{x_2}-3）+{y_1}{y_2}=（1+\frac{1}{8}）{x_1}{x_2}+9=0$．
即 x₁x₂=-8，∴$\frac{{-{a^2}{b^2}}}{{{b^2}+\frac{1}{8}{a^2}}}=-8$，
结合b²+9=a²．解得a²=12，∴离心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$． …（8分）
（若设A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁）相应给分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）结论，椭圆方程为$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1$，…（9分）
由题可设A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），${k_1}=\frac{{{y_0}-{y_1}}}{{{x_0}-{x_1}}}，{k_2}=\frac{{{y_0}+{y_1}}}{{{x_0}+{x_1}}}$，
∴${k_1}{k_2}=\frac{{{y_0}^2-{y_1}^2}}{{{x_0}^2-{x_1}^2}}$，…（10分）
又$\frac{{{y_0}^2-{y_1}^2}}{{{x_0}^2-{x_1}^2}}=\frac{{3（1-\frac{{{x_0}^2}}{12}）-3（1-\frac{{{x_1}^2}}{12}）}}{{{x_0}^2-{x_1}^2}}=-\frac{1}{4}$，即${k_2}=-\frac{1}{{4{k_1}}}$，
由-2＜k₁＜-1可知，$\frac{1}{8}＜{k_2}＜\frac{1}{4}$．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查椭圆的离心率和直线的斜率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线与椭圆的相交综合问题的合理运用．