Question

10．已知椭圆和双曲线焦点F₁，F₂相同，且离心率互为倒数，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F₁PF₂=60°时，椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 可设F₁P=m，F₂P=n，F₁F₂=2c，由余弦定理便得到4c²=m²+n²-mn，设a₁是椭圆的长半轴，a₁是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义即可得到m+n=2a₁，m-n=2a₁，从而可以求出m，n．再根据离心率互为倒数便可得到c²=a₁a₂，将m，n及c²都带入上式便可得出a₁=3a₂，从而有$\frac{c}{{a}_{1}}•\frac{3c}{{a}_{1}}=1$，这样便可求出椭圆的离心率．

解答 解：设F₁P=m，F₂P=n，F₁F₂=2c；
由余弦定理得，（2c）²=m²+n²-2mncos60°，即4c²=m²+n²-mn；
设a₁是椭圆的长半轴，a₂是双曲线的实半轴；
由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a₁，m-n=2a₂；
∴m=a₁+a₂，n=a₁-a₂，将它们代入前式得3a₂²-4c²+a₁²=0；
∵离心率互为倒数；
∴$\frac{c}{{a}_{1}}=\frac{{a}_{2}}{c}$，∴c²=a₁a₂；
∴$3{{a}_{2}}^{2}-4{a}_{1}{a}_{2}+{{a}_{1}}^{2}=（3{a}_{2}-{a}_{1}）$（a₂-a₁）=0；
根据题意，a₂≠a₁，∴a₁=3a₂；
∴e₁•e₂=$\frac{c}{{a}_{1}}•\frac{c}{{a}_{2}}=\frac{c}{{a}_{1}}•\frac{3c}{{a}_{1}}=1$
即3e₁²=1；
∴e₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：A．

点评 考查余弦定理，椭圆和双曲线的焦点及离心率，离心率的计算公式，椭圆的长半轴，双曲线的实半轴，以及椭圆和双曲线的定义．