Question

15．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AE⊥平面ABCD，EF∥CD，BC=CD=AE=EF=$\frac{1}{2}$AD=1．
（1）求证：CE∥平面ABF；
（2）在直线BC上是否存在点M，使二面角E-MD-A的大小为$\frac{π}{3}$？若存在，求出CM的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）作 FG∥EA，AG∥EF，连结EG交AF于H，连结BH，BG，由题设条件推导出四边形AEFG为正方形，从而得到CDAG为平行四边形，由此能够证明CE∥面ABF．
（Ⅱ）以A为原点，AG为x轴，AD为y轴，AE为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz．利用向量法能够求出结果．

解答 （I）证明：如图，作 FG∥EA，AG∥EF，
连结EG交AF于H，连结BH，BG，
∵EF∥CD且EF=CD，
∴AG∥CD，即点G在平面ABCD内
由AE⊥平面ABCD，知AE⊥AG，
∴四边形AEFG为正方形，
∴CDAG为平行四边形，…（2分）
∴H为EG的中点，B为CG中点，∴BH∥CE，
∴CE∥面ABF．…（4分）
（Ⅱ）解：如图，以A为原点，AG为x轴，AE为z轴，AD为y轴，
建立空间直角坐标系A-xyz．
由题意得：A（0，0，0），G（1，0，0），E（0，0，1），D（0，2，0），C（1，2，0）
设M（1，y₀，0），则$\overrightarrow{ED}=（0\;，\;\;2\;，\;\;-1）$，$\overrightarrow{DM}=（1，{y_0}-2，0）$，
设面EMD的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ED}=2y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DM}=x+（{y}_{0}-2）y=0}\end{array}\right.$，令y=1，得z=2，x=2-y₀，
∴$\overrightarrow{n}$=（2-y₀，1，2）．…（8分）
又∵$\overrightarrow{AE}⊥面\;AMD$，
∴$\overrightarrow{AE}=（0，\;\;0，\;\;1）$为面AMD的法向量，
∵二面角E-MD-A的大小为$\frac{π}{3}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AE}$＞|=|$\frac{2}{1×\sqrt{（2-{{y}_{0}）}^{2}+1+4}}$|=cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$，
解得即$\sqrt{（2-{y}_{0}）^{2}+5}$=4，
平方得（2-y₀）²+5=16，
即（2-y₀）²=9，得y₀=-1（舍）或y₀=3．
∴在BC上存在点M，且|CM|=5-2=3，…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的证明以及二面角的应用，考查直线与直线垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断，解题时要注意向量法的合理运用．利用向量法是解决本题的关键．