Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴的长是短轴长的两倍，焦距为2$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的标准方程
（2）若直线l：y=kx+m（m≠0）与椭圆C相交于不同两点M，N，直线OM，MN，ON的斜率存在且依次成等比数列，求k的值及m的取值范围（O为坐标原点）

Answer 1

分析 （1）由椭圆的长轴的长是短轴长的两倍，焦距为2$\sqrt{3}$，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，由此利用韦达定理、等比数列、根的判别式，结合已知能求出m的取值范围．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴的长是短轴长的两倍，焦距为2$\sqrt{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=2×2b}\\{2c=2\sqrt{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）由题意，得k≠0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y并整理，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4（{m}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$，
由题意m²≠1（否则x₁x₂=0，则x₁，x₂中至少有一个为0，直线OM，ON中至少有一个斜率不存在，矛盾），
∴${y}_{1}{y}_{2}=（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）={k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}$+km（x₁+x₂）+m²，
又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}=\frac{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=k²，
∴-$\frac{8{k}^{2}{m}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+m²=0，
由m≠0，得：${k}^{2}=\frac{1}{4}$，解得k=$±\frac{1}{2}$，
由△=64k²m²-16（1+4k²）（m²-1）=16（4k²-m²+1）＞0，
得-$\sqrt{2}$＜m＜-1或-1＜m＜0或0＜m＜1或1＜m＜$\sqrt{2}$，
∴m的取值范围是（-$\sqrt{2}，-1$）∪（-1，0）∪（0，1）∪（1，$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、等比数列、根的判别式、椭圆性质的合理运用．