Question

20．在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，a=$\sqrt{6}$，b=4，cosAsin（A+B）-sin2A=0．
（1）求c的值；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数关系进行转化，结合正弦定理进行求解即可求c的值；
（2）根据余弦定理求出cosB，结合三角形的面积公式即可求△ABC的面积．

解答 解：（1）在△ABC中，由cosAsin（A+B）-sin2A=0得cosAsinC-2sinAcosA=0，
即cosA（sinC-2sinA）=0，
则cosA=0，或sinC=2sinA，
由cosA=0得A=$\frac{π}{2}$，
∵a=$\sqrt{6}$，b=4，
∴A＜B，此时A=$\frac{π}{2}$不成立，
由sinC=2sinA，得c=2a=2$\sqrt{6}$；
（2）∵a=$\sqrt{6}$，b=4，c=2$\sqrt{6}$；
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{6+24-16}{2\sqrt{6}×2\sqrt{6}}$=$\frac{7}{12}$，
则sinB=$\sqrt{1-（\frac{7}{12}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{95}}{12}$，
则△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinB=$\frac{1}{2}$×$4×2\sqrt{6}$×$\frac{\sqrt{95}}{12}$=$\frac{\sqrt{570}}{3}$．

点评 本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题的关键．