Question

12．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₃=5，S₁₄=196，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{\sqrt{{S}_{n}}•\sqrt{{S}_{n+1}}}$，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）a₃=5，S₁₄=196，先求出公差d，即可求出数列的通项公式，
（2）根据数列的前n项和公式，求出S_n=n²，继而求出b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，根据裂项求和得到数列{b_n}的前n项和为T_n．

解答 解：（1）∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₃=5，S₁₄=196，
∴S₁₄=14×$\frac{1}{2}$（a₁+a₁₄）=7（a₃+a₁₂）=196，
解得a₁₂=23，
∴d=$\frac{{a}_{12}-{a}_{3}}{12-3}$=$\frac{23-5}{9}$=2，
∴a_n=a₃+（n-3）d=5+（n-3）×2=2n-1，
（2）由（1）可知a_n=2n-1，
∴a₁=1，
∴S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，
∴b_n=$\frac{1}{\sqrt{{S}_{n}}•\sqrt{{S}_{n+1}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项法的合理运用．