Question

16．已知数列{a_n}满足3a_n+1+a_na_n+1=3a_n，a₁=3．
（1）求证：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列；
（2）设b_n=a_na_n+1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）化简3a_n+1+a_na_n+1=3a_n可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$，从而证明；
（2）由（1）知$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{3}$，从而求得b_n=a_na_n+1=3（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），从而求其前n项和．

解答 解：（1）证明：∵3a_n+1+a_na_n+1=3a_n，
∴a_n+1（3+a_n）=3a_n，
又∵a₁=3，∴a_n≠0；
∴$\frac{3}{{a}_{n}}$+1=$\frac{3}{{a}_{n+1}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$，
故数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{3}$为首项，$\frac{1}{3}$为公差的等差数列；
（2）由（1）知$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$+（n-1）$\frac{1}{3}$=$\frac{n}{3}$，
故a_n=$\frac{3}{n}$，
故b_n=a_na_n+1=$\frac{3}{n}$•$\frac{3}{n+1}$=3（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
故S_n=3（1-$\frac{1}{2}$）+3（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+3（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+3（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{3n}{n+1}$．

点评 本题考查了数列的构造方法及裂项求和法的应用．